本文旨在對布萊克-舒爾斯模型 (Black-Scholes Model, BS 模型) 的數學推導進行最全面且詳盡的闡述。此模型是金融工程學中的基石，主要用於歐式期權的合理定價。其核心推導嚴謹地建立在 無套利原則 與 動態避險策略 這兩大金融學基本概念之上。為了讓讀者能徹底理解 BS 模型的精髓，在後續的章節中，我們將一步一步、鉅細靡遺地介紹每一個推導步驟背後的數學依據、深刻的金融意涵，以及如何應用於實際案例。
特別是，本文將對看似抽象的無套利原則進行更深入的補充說明，確保讀者能充分掌握其在模型中的關鍵作用。此外，我們也將獨立探討美式期權與歐式期權在定價上的本質差異，以及針對美式期權修正模型時所面臨的挑戰。希望透過本文的詳細解析，能幫助讀者真正掌握布萊克-舒爾斯模型的精髓，並能將其應用於金融市場的實務分析之中。
在深入推導 BS 模型之前，為了確保模型的嚴謹性與適用性，我們必須先建立起一系列明確且合理的 基本假設。這些假設是模型推導的起點，也是理解模型適用範圍的重要基礎。以下詳細列出 BS 模型的核心假設：
詳細說明： 幾何布朗運動假設股價的變動是由一個確定性的趨勢項和一個隨機的波動項組成。這種假設捕捉了股價變動的兩個核心特徵：長期成長趨勢與短期隨機波動。
詳細說明： 這些假設旨在排除市場摩擦對期權定價的干擾，使模型能更專注於核心的定價機制。
無套利原則 (No-Arbitrage Principle) 是現代金融理論的基石，也是 BS 模型推導的核心邏輯起點。它描述了在一個有效率的金融市場中，資產定價所必須遵循的基本規律：在沒有額外風險的情況下，不可能持續穩定地獲取超額利潤。
更精確地說，無套利原則禁止以下兩種情況的出現：
在 BS 模型中，無套利原則的核心體現方式在於構造 無風險避險投資組合，並令其收益率等於無風險利率 r，否則便會產生套利機會。
為了有效利用無套利原則來推導期權定價模型，BS 模型的核心策略是構造一個 無風險避險投資組合 (Risk-Free Hedging Portfolio)。這個投資組合結合了期權與其標的資產，並透過 動態調整 組合中兩種資產的持倉比例，使投資組合在 極短時間間隔 dt 內的價值變動不受標的資產價格隨機波動的影響。
整個投資組合的初始價值為：
Π = ΔS - C
目標是透過適當選擇並動態調整 Δ，使得該組合在極短時間 dt 內的價值變動 dΠ 無隨機風險，只剩下確定性的無風險收益。
在極短時間間隔 dt 內，投資組合 Π 的價值變動 dΠ 主要由兩部分構成：
因此， dΠ = Δ dS - dC。
為了進一步分析 dC，需要用到 伊藤引理 (Itô's Lemma)。由於 C = C(S, t)，可根據伊藤引理展開：
dC = (∂C/∂S) dS + (∂C/∂t) dt + (1/2)(∂²C/∂S²)(dS)²
而 S 服從幾何布朗運動： dS = μS dt + σS dW，且 (dW)² = dt。於是有 (dS)² ≈ σ² S² dt。
將其代回伊藤引理，可得 dC = (∂C/∂S) dS + (∂C/∂t) dt + (1/2) σ² S² (∂²C/∂S²) dt 。
將 dC 代入 dΠ = Δ dS - dC，可得：
dΠ = Δ dS - [ (∂C/∂S) dS + (∂C/∂t) dt + (1/2) σ² S² (∂²C/∂S²) dt ]
整理後：
dΠ = [Δ - (∂C/∂S)] dS
- [ (∂C/∂t) + (1/2) σ² S² (∂²C/∂S²) ] dt
要使投資組合無風險，必須令隨機項 dS 前的係數為 0，即
Δ - (∂C/∂S) = 0
因此，
Δ = ∂C/∂S。
結論：為消除標的資產價格的隨機波動，必須持有 Delta 值 數量的標的資產，並且動態調整此持倉量，以對沖隨機風險。
當 Δ = ∂C/∂S 時，投資組合的隨機項被完全對沖，此時
dΠ 僅剩確定性的 dt 項：
dΠ = - [ (∂C/∂t) + (1/2) σ² S² (∂²C/∂S² ) ] dt
根據 無套利原則，無風險組合的收益率必須等於無風險利率 r：
dΠ = r Π dt = r [ (∂C/∂S)S - C ] dt
將兩式聯立消去 dt，即可得到
布萊克-舒爾斯偏微分方程 (PDE)：
(∂C/∂t) + (1/2)σ² S² (∂²C/∂S²) + rS (∂C/∂S) - rC = 0
上述 PDE 還需要到期邊界條件才能得到具體解。以歐式買權為例，到期日
T 的條件為：
C(S, T) = max(S - K, 0)。
經由一系列數學方法（如風險中性定價理論、變數替換等），最終可得著名的
布萊克-舒爾斯歐式買權定價公式：
C = S0 N(d1)
- K e-rT N(d2)
其中：
d1 =
[ln(S0/K) + (r + σ²/2)T] / (σ √T)
d2 = d1 - σ √T
該公式可以解釋為：以風險中性的機率分布，對期權的預期收益與履約成本分別折現後相減而得。
布萊克-舒爾斯公式嚴格適用於 歐式期權，而 美式期權 可以在到期日前任何時間行使，定價更複雜。
總之，美式期權定價不能直接套用布萊克-舒爾斯公式，需要考慮提前行使權利並使用數值方法。
綜合上述推導與分析，我們可以歸納出下列核心觀點：
為了更直觀地展示布萊克-舒爾斯模型模擬股價隨機漫步的結果，以及最終價格的分佈情況，下列以透明背景輸出之圖表可供參考。
圖 1：股價隨機漫步軌跡模擬圖 (透明背景)
圖 2：最終股價分佈直方圖與高斯擬合曲線 (透明背景)
情境設定： 假設我們現在要對一支 不支付股息的股票 的歐式買權進行定價。市場參數如下：
計算步驟： 先計算 d1 與 d2：
d1 = [ln(100/100) + (0.05 + 0.20²/2)×1] / (0.20×√1) = 0.35
d2 = d1 - 0.20 = 0.15
查標準常態累積分布表或計算器，可得 N(0.35) ≈ 0.6368、 N(0.15) ≈ 0.5596。
代入歐式買權定價公式：
C = 100 × 0.6368 - 100 × e-0.05 × 0.5596
其中 e-0.05 ≈ 0.9512， 最終 C ≈ 10.50。
結果分析： 若市場價格顯著偏離此理論價， 可能產生套利機會。
情境設定： 與例子 1 參數相同，但改成 歐式賣權。
由於 d1、 d2 相同，可得 N(-d1) ≈ 0.3632、 N(-d2) ≈ 0.4404。
歐式賣權定價公式：
P = 100 × e-0.05 × 0.4404 - 100 × 0.3632
經計算 P ≈ 5.55。
結果分析： 配合買賣權平價 (Put-Call Parity) 可驗證此結果與買權定價互相呼應。
情境設定： 在例子 1 的基礎上， 單獨將標的資產價格由 100 元調至 110 元，其餘參數不變： K = 100， r = 0.05， σ = 0.20， T = 1。
重新計算 d1、 d2：
d1 ≈ 0.832, d2 = 0.632
查表得 N(0.832) ≈ 0.7967、 N(0.632) ≈ 0.7364。
新的歐式買權價格：
C = 110 × 0.7967 - 100 × e-0.05 × 0.7364
，約為 17.65 元，較原先 10.50 元增幅超過 68%。
結果解釋： 標的資產價格對期權價格影響顯著； 布萊克-舒爾斯模型能協助評估不同參數下的期權價值，為交易策略及風險管理提供依據。